3.71 \(\int \text{sech}^3(c+d x) (a+b \text{sech}^2(c+d x))^3 \, dx\)

Optimal. Leaf size=196 \[ \frac{\left (144 a^2 b+64 a^3+120 a b^2+35 b^3\right ) \tan ^{-1}(\sinh (c+d x))}{128 d}+\frac{b \left (72 a^2+92 a b+35 b^2\right ) \tanh (c+d x) \text{sech}^3(c+d x)}{192 d}+\frac{\left (144 a^2 b+64 a^3+120 a b^2+35 b^3\right ) \tanh (c+d x) \text{sech}(c+d x)}{128 d}+\frac{b \tanh (c+d x) \text{sech}^7(c+d x) \left (a \sinh ^2(c+d x)+a+b\right )^2}{8 d}+\frac{b (12 a+7 b) \tanh (c+d x) \text{sech}^5(c+d x) \left (a \sinh ^2(c+d x)+a+b\right )}{48 d} \]

[Out]

((64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(128*d) + ((64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 +
35*b^3)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(128*d) + (b*(72*a^2 + 92*a*b + 35*b^2)*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(
192*d) + (b*(12*a + 7*b)*Sech[c + d*x]^5*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x])/(48*d) + (b*Sech[c + d*x]^
7*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)^2*Tanh[c + d*x])/(8*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.232029, antiderivative size = 196, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.261, Rules used = {4147, 413, 526, 385, 199, 203} \[ \frac{\left (144 a^2 b+64 a^3+120 a b^2+35 b^3\right ) \tan ^{-1}(\sinh (c+d x))}{128 d}+\frac{b \left (72 a^2+92 a b+35 b^2\right ) \tanh (c+d x) \text{sech}^3(c+d x)}{192 d}+\frac{\left (144 a^2 b+64 a^3+120 a b^2+35 b^3\right ) \tanh (c+d x) \text{sech}(c+d x)}{128 d}+\frac{b \tanh (c+d x) \text{sech}^7(c+d x) \left (a \sinh ^2(c+d x)+a+b\right )^2}{8 d}+\frac{b (12 a+7 b) \tanh (c+d x) \text{sech}^5(c+d x) \left (a \sinh ^2(c+d x)+a+b\right )}{48 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sech[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

((64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*ArcTan[Sinh[c + d*x]])/(128*d) + ((64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 +
35*b^3)*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x])/(128*d) + (b*(72*a^2 + 92*a*b + 35*b^2)*Sech[c + d*x]^3*Tanh[c + d*x])/(
192*d) + (b*(12*a + 7*b)*Sech[c + d*x]^5*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)*Tanh[c + d*x])/(48*d) + (b*Sech[c + d*x]^
7*(a + b + a*Sinh[c + d*x]^2)^2*Tanh[c + d*x])/(8*d)

Rule 4147

Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = Fr
eeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[ExpandToSum[b + a*(1 - ff^2*x^2)^(n/2), x]^p/(1 - ff^2*x^2)^
((m + n*p + 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n
/2] && IntegerQ[p]

Rule 413

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[((a*d - c*b)*x*(a + b*x^n)^
(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1))/(a*b*n*(p + 1)), x] - Dist[1/(a*b*n*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)
^(q - 2)*Simp[c*(a*d - c*b*(n*(p + 1) + 1)) + d*(a*d*(n*(q - 1) + 1) - b*c*(n*(p + q) + 1))*x^n, x], x], x] /;
FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, n, p, q
, x]

Rule 526

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[
((b*e - a*f)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q)/(a*b*n*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*b*n*(p + 1)), Int[(a + b*x^n
)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*(b*e*n*(p + 1) + b*e - a*f) + d*(b*e*n*(p + 1) + (b*e - a*f)*(n*q + 1))*x
^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0]

Rule 385

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[((b*c - a*d)*x*(a + b*x^n)^(p +
1))/(a*b*n*(p + 1)), x] - Dist[(a*d - b*c*(n*(p + 1) + 1))/(a*b*n*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /
; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (LtQ[p, -1] || ILtQ[1/n + p, 0])

Rule 199

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> -Simp[(x*(a + b*x^n)^(p + 1))/(a*n*(p + 1)), x] + Dist[(n*(p +
1) + 1)/(a*n*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && (In
tegerQ[2*p] || (n == 2 && IntegerQ[4*p]) || (n == 2 && IntegerQ[3*p]) || Denominator[p + 1/n] < Denominator[p]
)

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \text{sech}^3(c+d x) \left (a+b \text{sech}^2(c+d x)\right )^3 \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (a+b+a x^2\right )^3}{\left (1+x^2\right )^5} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{b \text{sech}^7(c+d x) \left (a+b+a \sinh ^2(c+d x)\right )^2 \tanh (c+d x)}{8 d}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (a+b+a x^2\right ) \left ((a+b) (8 a+7 b)+a (8 a+3 b) x^2\right )}{\left (1+x^2\right )^4} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{8 d}\\ &=\frac{b (12 a+7 b) \text{sech}^5(c+d x) \left (a+b+a \sinh ^2(c+d x)\right ) \tanh (c+d x)}{48 d}+\frac{b \text{sech}^7(c+d x) \left (a+b+a \sinh ^2(c+d x)\right )^2 \tanh (c+d x)}{8 d}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{-(a+b) \left (48 a^2+78 a b+35 b^2\right )-3 a \left (16 a^2+18 a b+7 b^2\right ) x^2}{\left (1+x^2\right )^3} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{48 d}\\ &=\frac{b \left (72 a^2+92 a b+35 b^2\right ) \text{sech}^3(c+d x) \tanh (c+d x)}{192 d}+\frac{b (12 a+7 b) \text{sech}^5(c+d x) \left (a+b+a \sinh ^2(c+d x)\right ) \tanh (c+d x)}{48 d}+\frac{b \text{sech}^7(c+d x) \left (a+b+a \sinh ^2(c+d x)\right )^2 \tanh (c+d x)}{8 d}+\frac{\left (64 a^3+144 a^2 b+120 a b^2+35 b^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1+x^2\right )^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{64 d}\\ &=\frac{\left (64 a^3+144 a^2 b+120 a b^2+35 b^3\right ) \text{sech}(c+d x) \tanh (c+d x)}{128 d}+\frac{b \left (72 a^2+92 a b+35 b^2\right ) \text{sech}^3(c+d x) \tanh (c+d x)}{192 d}+\frac{b (12 a+7 b) \text{sech}^5(c+d x) \left (a+b+a \sinh ^2(c+d x)\right ) \tanh (c+d x)}{48 d}+\frac{b \text{sech}^7(c+d x) \left (a+b+a \sinh ^2(c+d x)\right )^2 \tanh (c+d x)}{8 d}+\frac{\left (64 a^3+144 a^2 b+120 a b^2+35 b^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+x^2} \, dx,x,\sinh (c+d x)\right )}{128 d}\\ &=\frac{\left (64 a^3+144 a^2 b+120 a b^2+35 b^3\right ) \tan ^{-1}(\sinh (c+d x))}{128 d}+\frac{\left (64 a^3+144 a^2 b+120 a b^2+35 b^3\right ) \text{sech}(c+d x) \tanh (c+d x)}{128 d}+\frac{b \left (72 a^2+92 a b+35 b^2\right ) \text{sech}^3(c+d x) \tanh (c+d x)}{192 d}+\frac{b (12 a+7 b) \text{sech}^5(c+d x) \left (a+b+a \sinh ^2(c+d x)\right ) \tanh (c+d x)}{48 d}+\frac{b \text{sech}^7(c+d x) \left (a+b+a \sinh ^2(c+d x)\right )^2 \tanh (c+d x)}{8 d}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 9.32406, size = 297, normalized size = 1.52 \[ \frac{\text{sech}^8(c+d x) \left (a \cosh ^2(c+d x)+b\right )^3 \left (3 \left (144 a^2 b+64 a^3+120 a b^2+35 b^3\right ) \tanh (c) \cosh ^7(c+d x)+2 b \left (144 a^2+120 a b+35 b^2\right ) \tanh (c) \cosh ^5(c+d x)+6 \left (144 a^2 b+64 a^3+120 a b^2+35 b^3\right ) \cosh ^8(c+d x) \tan ^{-1}\left (\tanh \left (\frac{1}{2} (c+d x)\right )\right )+3 \left (144 a^2 b+64 a^3+120 a b^2+35 b^3\right ) \text{sech}(c) \sinh (d x) \cosh ^6(c+d x)+2 b \left (144 a^2+120 a b+35 b^2\right ) \text{sech}(c) \sinh (d x) \cosh ^4(c+d x)+8 b^2 (24 a+7 b) \tanh (c) \cosh ^3(c+d x)+8 b^2 (24 a+7 b) \text{sech}(c) \sinh (d x) \cosh ^2(c+d x)+48 b^3 \tanh (c) \cosh (c+d x)+48 b^3 \text{sech}(c) \sinh (d x)\right )}{48 d (a \cosh (2 (c+d x))+a+2 b)^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Sech[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

((b + a*Cosh[c + d*x]^2)^3*Sech[c + d*x]^8*(6*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*ArcTan[Tanh[(c + d*x)/
2]]*Cosh[c + d*x]^8 + 48*b^3*Sech[c]*Sinh[d*x] + 8*b^2*(24*a + 7*b)*Cosh[c + d*x]^2*Sech[c]*Sinh[d*x] + 2*b*(1
44*a^2 + 120*a*b + 35*b^2)*Cosh[c + d*x]^4*Sech[c]*Sinh[d*x] + 3*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*Cos
h[c + d*x]^6*Sech[c]*Sinh[d*x] + 48*b^3*Cosh[c + d*x]*Tanh[c] + 8*b^2*(24*a + 7*b)*Cosh[c + d*x]^3*Tanh[c] + 2
*b*(144*a^2 + 120*a*b + 35*b^2)*Cosh[c + d*x]^5*Tanh[c] + 3*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*Cosh[c +
d*x]^7*Tanh[c]))/(48*d*(a + 2*b + a*Cosh[2*(c + d*x)])^3)

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.03, size = 280, normalized size = 1.4 \begin{align*}{\frac{{a}^{3}{\rm sech} \left (dx+c\right )\tanh \left ( dx+c \right ) }{2\,d}}+{\frac{{a}^{3}\arctan \left ({{\rm e}^{dx+c}} \right ) }{d}}+{\frac{3\,{a}^{2}b\tanh \left ( dx+c \right ) \left ({\rm sech} \left (dx+c\right ) \right ) ^{3}}{4\,d}}+{\frac{9\,{a}^{2}b{\rm sech} \left (dx+c\right )\tanh \left ( dx+c \right ) }{8\,d}}+{\frac{9\,{a}^{2}b\arctan \left ({{\rm e}^{dx+c}} \right ) }{4\,d}}+{\frac{a{b}^{2}\tanh \left ( dx+c \right ) \left ({\rm sech} \left (dx+c\right ) \right ) ^{5}}{2\,d}}+{\frac{5\,a{b}^{2}\tanh \left ( dx+c \right ) \left ({\rm sech} \left (dx+c\right ) \right ) ^{3}}{8\,d}}+{\frac{15\,a{b}^{2}{\rm sech} \left (dx+c\right )\tanh \left ( dx+c \right ) }{16\,d}}+{\frac{15\,a{b}^{2}\arctan \left ({{\rm e}^{dx+c}} \right ) }{8\,d}}+{\frac{{b}^{3}\tanh \left ( dx+c \right ) \left ({\rm sech} \left (dx+c\right ) \right ) ^{7}}{8\,d}}+{\frac{7\,{b}^{3}\tanh \left ( dx+c \right ) \left ({\rm sech} \left (dx+c\right ) \right ) ^{5}}{48\,d}}+{\frac{35\,{b}^{3} \left ({\rm sech} \left (dx+c\right ) \right ) ^{3}\tanh \left ( dx+c \right ) }{192\,d}}+{\frac{35\,{b}^{3}{\rm sech} \left (dx+c\right )\tanh \left ( dx+c \right ) }{128\,d}}+{\frac{35\,{b}^{3}\arctan \left ({{\rm e}^{dx+c}} \right ) }{64\,d}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sech(d*x+c)^3*(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x)

[Out]

1/2/d*a^3*sech(d*x+c)*tanh(d*x+c)+1/d*a^3*arctan(exp(d*x+c))+3/4/d*a^2*b*tanh(d*x+c)*sech(d*x+c)^3+9/8*a^2*b*s
ech(d*x+c)*tanh(d*x+c)/d+9/4/d*a^2*b*arctan(exp(d*x+c))+1/2/d*a*b^2*tanh(d*x+c)*sech(d*x+c)^5+5/8/d*a*b^2*tanh
(d*x+c)*sech(d*x+c)^3+15/16/d*a*b^2*sech(d*x+c)*tanh(d*x+c)+15/8/d*a*b^2*arctan(exp(d*x+c))+1/8/d*b^3*tanh(d*x
+c)*sech(d*x+c)^7+7/48/d*b^3*tanh(d*x+c)*sech(d*x+c)^5+35/192*b^3*sech(d*x+c)^3*tanh(d*x+c)/d+35/128*b^3*sech(
d*x+c)*tanh(d*x+c)/d+35/64/d*b^3*arctan(exp(d*x+c))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.70378, size = 751, normalized size = 3.83 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^3*(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/192*b^3*(105*arctan(e^(-d*x - c))/d - (105*e^(-d*x - c) + 805*e^(-3*d*x - 3*c) + 2681*e^(-5*d*x - 5*c) + 50
53*e^(-7*d*x - 7*c) - 5053*e^(-9*d*x - 9*c) - 2681*e^(-11*d*x - 11*c) - 805*e^(-13*d*x - 13*c) - 105*e^(-15*d*
x - 15*c))/(d*(8*e^(-2*d*x - 2*c) + 28*e^(-4*d*x - 4*c) + 56*e^(-6*d*x - 6*c) + 70*e^(-8*d*x - 8*c) + 56*e^(-1
0*d*x - 10*c) + 28*e^(-12*d*x - 12*c) + 8*e^(-14*d*x - 14*c) + e^(-16*d*x - 16*c) + 1))) - 1/8*a*b^2*(15*arcta
n(e^(-d*x - c))/d - (15*e^(-d*x - c) + 85*e^(-3*d*x - 3*c) + 198*e^(-5*d*x - 5*c) - 198*e^(-7*d*x - 7*c) - 85*
e^(-9*d*x - 9*c) - 15*e^(-11*d*x - 11*c))/(d*(6*e^(-2*d*x - 2*c) + 15*e^(-4*d*x - 4*c) + 20*e^(-6*d*x - 6*c) +
15*e^(-8*d*x - 8*c) + 6*e^(-10*d*x - 10*c) + e^(-12*d*x - 12*c) + 1))) - 3/4*a^2*b*(3*arctan(e^(-d*x - c))/d
- (3*e^(-d*x - c) + 11*e^(-3*d*x - 3*c) - 11*e^(-5*d*x - 5*c) - 3*e^(-7*d*x - 7*c))/(d*(4*e^(-2*d*x - 2*c) + 6
*e^(-4*d*x - 4*c) + 4*e^(-6*d*x - 6*c) + e^(-8*d*x - 8*c) + 1))) - a^3*(arctan(e^(-d*x - c))/d - (e^(-d*x - c)
- e^(-3*d*x - 3*c))/(d*(2*e^(-2*d*x - 2*c) + e^(-4*d*x - 4*c) + 1)))

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.73281, size = 16578, normalized size = 84.58 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^3*(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/192*(3*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^15 + 45*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*
b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^14 + 3*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*sinh(d*x + c)^15 + (960*a^3
+ 3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c)^13 + (960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 805*b^3 + 315*(64
*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^13 + 13*(105*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a
*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^12
+ (1728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3)*cosh(d*x + c)^11 + (4095*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 +
35*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 1728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3 + 78*(960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760*a*b^
2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^11 + 11*(819*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x +
c)^5 + 26*(960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (1728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^2
+ 2681*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^10 + (960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d*x + c)^9 +
(15015*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 715*(960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 8
05*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b^3 + 55*(1728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^
2 + 2681*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^9 + 3*(6435*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x +
c)^7 + 429*(960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 55*(1728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*
b^2 + 2681*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c
)^8 - (960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + (19305*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2
+ 35*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 1716*(960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 330*(1728*a^3
+ 7344*a^2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3)*cosh(d*x + c)^4 - 960*a^3 - 4464*a^2*b - 6792*a*b^2 - 5053*b^3 + 36*(96
0*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^7 + (15015*(64*a^3 + 144*a^2*b + 12
0*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 1716*(960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 462*(
1728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 84*(960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*
b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 7*(960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^6 - (1728
*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + (9009*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*c
osh(d*x + c)^10 + 1287*(960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 462*(1728*a^3 + 7344*a^
2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 126*(960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d*x + c
)^4 - 1728*a^3 - 7344*a^2*b - 9192*a*b^2 - 2681*b^3 - 21*(960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d
*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^5 + (4095*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 715*(960*a^3 +
3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 330*(1728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3)*cosh
(d*x + c)^7 + 126*(960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d*x + c)^5 - 35*(960*a^3 + 4464*a^2*b +
6792*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 5*(1728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh
(d*x + c)^4 - (960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (1365*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*
a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^12 + 286*(960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 165*(1
728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 84*(960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b
^3)*cosh(d*x + c)^6 - 35*(960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d*x + c)^4 - 960*a^3 - 3312*a^2*b
- 2760*a*b^2 - 805*b^3 - 10*(1728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^3
+ (315*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^13 + 78*(960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 80
5*b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 55*(1728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 36*(960*a^3 + 4
464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d*x + c)^7 - 21*(960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d*
x + c)^5 - 10*(1728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760
*a*b^2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + 3*((64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^
16 + 16*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^15 + (64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a
*b^2 + 35*b^3)*sinh(d*x + c)^16 + 8*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^14 + 8*(64*a^3 + 1
44*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3 + 15*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^14
+ 112*(5*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3
)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^13 + 28*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^12 + 28*(65*(64
*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3 + 26*(64*a^3
+ 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^12 + 112*(39*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2
+ 35*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 26*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(64*a^3 + 144*a^2
*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^11 + 56*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d
*x + c)^10 + 56*(143*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 143*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120
*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3 + 33*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^
2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^10 + 16*(715*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c
)^7 + 1001*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 385*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 3
5*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 35*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 + 70*(64*
a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 2*(6435*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh
(d*x + c)^8 + 12012*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 6930*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120
*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 2240*a^3 + 5040*a^2*b + 4200*a*b^2 + 1225*b^3 + 1260*(64*a^3 + 144*a^2*b +
120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^8 + 16*(715*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(
d*x + c)^9 + 1716*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 1386*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a
*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 420*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 35*(64*a^3 +
144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 + 56*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*
cosh(d*x + c)^6 + 56*(143*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 429*(64*a^3 + 144*a^2*b
+ 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 462*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 210*(
64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3 + 35*(64*a^
3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 112*(39*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2
+ 35*b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 143*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 198*(64*a^3 + 14
4*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 126*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^5
+ 35*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*c
osh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 28*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 28*(65*(64*a^3
+ 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^12 + 286*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x +
c)^10 + 495*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 420*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 +
35*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 175*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 64*a^3 + 144*a^2*b +
120*a*b^2 + 35*b^3 + 30*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 112*(5*(
64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^13 + 26*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(
d*x + c)^11 + 55*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 60*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^
2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 35*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(64*a^3 + 144*
a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*
x + c)^3 + 64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3 + 8*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)
^2 + 8*(15*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^14 + 91*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 3
5*b^3)*cosh(d*x + c)^12 + 231*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 315*(64*a^3 + 144*a
^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 245*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 1
05*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3 + 21*(6
4*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 16*((64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2
+ 35*b^3)*cosh(d*x + c)^15 + 7*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^13 + 21*(64*a^3 + 144*
a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 35*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^9 +
35*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 21*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*co
sh(d*x + c)^5 + 7*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2
+ 35*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*arctan(cosh(d*x + c) + sinh(d*x + c)) - 3*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*
b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c) + (45*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^14 + 13*(960*a^3 + 3
312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c)^12 + 11*(1728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3)*cosh(d
*x + c)^10 + 9*(960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d*x + c)^8 - 7*(960*a^3 + 4464*a^2*b + 6792
*a*b^2 + 5053*b^3)*cosh(d*x + c)^6 - 5*(1728*a^3 + 7344*a^2*b + 9192*a*b^2 + 2681*b^3)*cosh(d*x + c)^4 - 192*a
^3 - 432*a^2*b - 360*a*b^2 - 105*b^3 - 3*(960*a^3 + 3312*a^2*b + 2760*a*b^2 + 805*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d
*x + c))/(d*cosh(d*x + c)^16 + 16*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^15 + d*sinh(d*x + c)^16 + 8*d*cosh(d*x + c)^14
+ 8*(15*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^14 + 112*(5*d*cosh(d*x + c)^3 + d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^1
3 + 28*d*cosh(d*x + c)^12 + 28*(65*d*cosh(d*x + c)^4 + 26*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^12 + 112*(39*d*
cosh(d*x + c)^5 + 26*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^11 + 56*d*cosh(d*x + c)^10 + 56*(143
*d*cosh(d*x + c)^6 + 143*d*cosh(d*x + c)^4 + 33*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^10 + 16*(715*d*cosh(d*x +
c)^7 + 1001*d*cosh(d*x + c)^5 + 385*d*cosh(d*x + c)^3 + 35*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 + 70*d*cosh(d*x +
c)^8 + 2*(6435*d*cosh(d*x + c)^8 + 12012*d*cosh(d*x + c)^6 + 6930*d*cosh(d*x + c)^4 + 1260*d*cosh(d*x + c)^2
+ 35*d)*sinh(d*x + c)^8 + 16*(715*d*cosh(d*x + c)^9 + 1716*d*cosh(d*x + c)^7 + 1386*d*cosh(d*x + c)^5 + 420*d*
cosh(d*x + c)^3 + 35*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 + 56*d*cosh(d*x + c)^6 + 56*(143*d*cosh(d*x + c)^10 + 42
9*d*cosh(d*x + c)^8 + 462*d*cosh(d*x + c)^6 + 210*d*cosh(d*x + c)^4 + 35*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^
6 + 112*(39*d*cosh(d*x + c)^11 + 143*d*cosh(d*x + c)^9 + 198*d*cosh(d*x + c)^7 + 126*d*cosh(d*x + c)^5 + 35*d*
cosh(d*x + c)^3 + 3*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 28*d*cosh(d*x + c)^4 + 28*(65*d*cosh(d*x + c)^12 + 286*
d*cosh(d*x + c)^10 + 495*d*cosh(d*x + c)^8 + 420*d*cosh(d*x + c)^6 + 175*d*cosh(d*x + c)^4 + 30*d*cosh(d*x + c
)^2 + d)*sinh(d*x + c)^4 + 112*(5*d*cosh(d*x + c)^13 + 26*d*cosh(d*x + c)^11 + 55*d*cosh(d*x + c)^9 + 60*d*cos
h(d*x + c)^7 + 35*d*cosh(d*x + c)^5 + 10*d*cosh(d*x + c)^3 + d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 8*d*cosh(d*x +
c)^2 + 8*(15*d*cosh(d*x + c)^14 + 91*d*cosh(d*x + c)^12 + 231*d*cosh(d*x + c)^10 + 315*d*cosh(d*x + c)^8 + 24
5*d*cosh(d*x + c)^6 + 105*d*cosh(d*x + c)^4 + 21*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^2 + 16*(d*cosh(d*x + c)^
15 + 7*d*cosh(d*x + c)^13 + 21*d*cosh(d*x + c)^11 + 35*d*cosh(d*x + c)^9 + 35*d*cosh(d*x + c)^7 + 21*d*cosh(d*
x + c)^5 + 7*d*cosh(d*x + c)^3 + d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + d)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (a + b \operatorname{sech}^{2}{\left (c + d x \right )}\right )^{3} \operatorname{sech}^{3}{\left (c + d x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)**3*(a+b*sech(d*x+c)**2)**3,x)

[Out]

Integral((a + b*sech(c + d*x)**2)**3*sech(c + d*x)**3, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.17047, size = 656, normalized size = 3.35 \begin{align*} \frac{{\left (\pi + 2 \, \arctan \left (\frac{1}{2} \,{\left (e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} - 1\right )} e^{\left (-d x - c\right )}\right )\right )}{\left (64 \, a^{3} + 144 \, a^{2} b + 120 \, a b^{2} + 35 \, b^{3}\right )}}{256 \, d} + \frac{192 \, a^{3}{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{7} + 432 \, a^{2} b{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{7} + 360 \, a b^{2}{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{7} + 105 \, b^{3}{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{7} + 2304 \, a^{3}{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{5} + 6336 \, a^{2} b{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{5} + 5280 \, a b^{2}{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{5} + 1540 \, b^{3}{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{5} + 9216 \, a^{3}{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{3} + 29952 \, a^{2} b{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{3} + 28032 \, a b^{2}{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{3} + 8176 \, b^{3}{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{3} + 12288 \, a^{3}{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )} + 46080 \, a^{2} b{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )} + 50688 \, a b^{2}{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )} + 17856 \, b^{3}{\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}}{192 \,{\left ({\left (e^{\left (d x + c\right )} - e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{2} + 4\right )}^{4} d} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(d*x+c)^3*(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/256*(pi + 2*arctan(1/2*(e^(2*d*x + 2*c) - 1)*e^(-d*x - c)))*(64*a^3 + 144*a^2*b + 120*a*b^2 + 35*b^3)/d + 1/
192*(192*a^3*(e^(d*x + c) - e^(-d*x - c))^7 + 432*a^2*b*(e^(d*x + c) - e^(-d*x - c))^7 + 360*a*b^2*(e^(d*x + c
) - e^(-d*x - c))^7 + 105*b^3*(e^(d*x + c) - e^(-d*x - c))^7 + 2304*a^3*(e^(d*x + c) - e^(-d*x - c))^5 + 6336*
a^2*b*(e^(d*x + c) - e^(-d*x - c))^5 + 5280*a*b^2*(e^(d*x + c) - e^(-d*x - c))^5 + 1540*b^3*(e^(d*x + c) - e^(
-d*x - c))^5 + 9216*a^3*(e^(d*x + c) - e^(-d*x - c))^3 + 29952*a^2*b*(e^(d*x + c) - e^(-d*x - c))^3 + 28032*a*
b^2*(e^(d*x + c) - e^(-d*x - c))^3 + 8176*b^3*(e^(d*x + c) - e^(-d*x - c))^3 + 12288*a^3*(e^(d*x + c) - e^(-d*
x - c)) + 46080*a^2*b*(e^(d*x + c) - e^(-d*x - c)) + 50688*a*b^2*(e^(d*x + c) - e^(-d*x - c)) + 17856*b^3*(e^(
d*x + c) - e^(-d*x - c)))/(((e^(d*x + c) - e^(-d*x - c))^2 + 4)^4*d)